みなさんこんにちは。M’s shineです。
本日はちょびっと算数喫茶にご来店いただきありがとうございます。
本日は、約数についてお話してみたいと思います。
受験生のお子様を持つ保護者の皆様、そしてSPI対策で四苦八苦している就活生がこのブログを読むことで、以下のことが分かります。
- 約数の基本
- 約数のイメージ
- イメージをつかんだ上で、約数の基本的な文章題を解けるようにする
全部まとめて書くと長くなるので、数回に分けて書きます。
それでは、どうぞよろしくお願いいたします。
約数とは
そもそも、約数ってなんでしょうか。
「ある数を割り切ることができる整数」
というのがよくある説明だと思います。
たぶん、例で理解してしまったほうがイメージがわきやすいと思います。
８の約数を例としてあげると、
８÷□＝△
という形で割り切れたとき、□に入れてよい整数のことです。今回の場合は、「１、２、４、８」です。
約数を書きなさいという問題であれば、この４つで完答になります。どれか１つでも抜けてしまうと✕になってしまうのでご注意ください。
まずは例題として次の問題をやってみましょう。
24の約数をすべて書きなさい。
答えは１，２，３，４，６，８，12，24です。
さて、ここで１つお気づきでしょうか。
１と24、２と12、３と８、４と６はかけると24になる！
そうなんです。24の約数なので、24÷□＝△と割り切れるとき、□に入る数が24の約数です。
□×△＝24となるので、□と△はともに24の約数になります。このことから、約数は２つ１セットになっていることがわかります。
ということで、約数を書き出すときは、２つ１セットにして書いていくとよいでしょう。
では、次の問題にいってみましょう。
16の約数をすべて書きなさい。
答えは、１，２，４，８，16です。
あれ？先ほどの問題で２個１セットということだったのに、４の相手がいません。
これは相手がいないのではありません。４の相手は、16÷４＝４です。
同じ数字だから書く必要がないのです。
ここまでのことで、以下のことがわかりました。
- 約数は２個１セットだから、個数は基本的に偶数個
- 同じ数をかけてできた数、つまり平方数の約数の個数は奇数個
これは覚えておきましょう。
また、約数が３個のものは、平方数の中でも、同じ「素数×素数」であらわせる数です。
すいません。素数の説明をしていませんでした。
素数とは、約数が１と自分自身だけの数、つまりの約数が２つになる数のことです。
話を戻しまして、なぜ約数が３個だと、素数×素数で表せる平方数となるかというのは、今後場合の数を書いたときに書こうと思いますので、お待ちください。
約数の文章題を解いてみよう
ここまでで、約数は割り算の世界の話をしているというのは、なんとなくお察しいただけるでしょう。
さて、割り算の世界の話と言いましたが、そもそも割り算ってどのようなイメージがありますでしょうか。
あまりにも漠然としすぎた質問なので、ちょっと言い方をかえます。
÷３ってどのようなイメージ？
大きく分けると２つあるのではないでしょうか。
１つ目が「３等分」です。
例えば、30本の鉛筆を３人で分けると、１人何本ですか？
となったとき、30÷３＝10(本)となります。
２つ目が「３ずつ区切る」ということです。
例えば、30本の鉛筆を１人３本ずつ配ります。このとき、何人に配れますか？
となったとき、30÷３＝10(人)です。
どちらも、30÷３＝10ですが、まったく意味が異なります。
約数は後者の、「同じ数字ずつ区切る」というイメージを持つとよいでしょう。
では、ここまでのことをふまえて、以下の問題を考えてみてください。
85をある数で割ると、４あまりました。ある数として考えられるものをすべて答えなさい。
問題文を式にしてみると、
85÷□＝△…４
ということです。85を割ると４あまるので、85－４＝81なら割り切れます。
つまり、
81÷□＝△
この□にあてはまる数になるので、81の約数となり、１，３，９，27，81です…
これ、違うのです。
あまりが４ですよね？そうなんです。□にあてはまる数は、４より大きくないといけません。３で割ったとき、あまりがでるとしたら１か２ですよね。そして、今回の問題だと、81÷３＝27で割り切れてしまいますね。
よって、９，27，81が正解になります。
最後に
いかがでしたでしょうか。
典型題のみ扱いましたが、考えてみると結構奥の深い問題だと思います。
本当に基本的な問題のみの解説ですが、このような問題であってもきちんと本質をつかんでいくことが今後の勉強に役立ちます。
本日は算数喫茶にご来店いただきありがとうございました。
またのご来店、心よりお待ちしております。
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